🌍 重力異常計算作業

題目中文解釋

這道題目提供了一個重力測站的觀測數據，要求你進行一系列的重力改正，以計算出「重力異常」。重力異常是地表下地質密度不均的指標。

a) 部分：陸地測站

此部分是標準的陸地重力計算。

• i) 理論重力 (theoretical gravity):

  目的： 計算在海平面上、該緯度（48.1195° N）的標準重力值。這是一個基於地球橢球模型的理論值。

• ii) 自由空氣改正 (free air correction):

  目的： 計算測站因為高於海平面（487.9 m）所導致的重力減少量。位置越高，離地心越遠，重力越弱。此改正項會將重力值「拉」回到海平面。

• iii) 布蓋改正 (Bouguer correction):

  目的： 計算在測站與海平面之間，那塊厚度為 487.9 m 的岩層（假設密度為 2.67 g/cm³）所產生的額外引力。

• iv) 自由空氣重力異常 (free air gravity anomaly):

  目的： 比較「觀測重力」與「在測站高程的理論重力」。
  公式： 自由空氣異常 = 觀測重力 - 理論重力 + 自由空氣改正

• v) 布蓋重力異常 (Bouguer gravity anomaly):

  目的： 這是自由空氣異常再減去岩層引力（布蓋改正）後的結果。它反映的是扣除了地形影響後，地殼內部的密度變化。
  公式： 布蓋異常 = 自由空氣異常 - 布蓋改正

b) 部分：海洋測站 (假設情境)

此部分情境改變：假設測站位於海平面上（高程 h=0），但下方有 487.9 m 深的海水。

• 目的： 重新計算自由空氣異常和布蓋異常。
• 關鍵變化：
  1. 自由空氣改正 (FAC)： 因為測站就在海平面（h=0），所以自由空氣改正為 0。
  2. 布蓋改正 (BC)： 情況變了。我們不再是移除陸地岩層，而是要處理「海水」和「標準岩層」的密度差異。標準的「海洋布蓋改正」是計算 (標準岩層密度 - 海水密度) 所產生的引力。

🧮 計算過程與答案

我們使用標準常數和公式（岩石密度 ρ_rock = 2.67 g/cm³，海水密度 ρ_water = 1.03 g/cm³）。

a) 陸地測站 (h = 487.9 m)

• i) 理論重力 (Gt):

  Gt = 978031.85 × (1 + 0.00578895 × sin(48.1195°)² + 0.000023462 × sin(48.1195°)⁴)
  答案： 981,165.70 mGal

• ii) 自由空氣改正 (FAC):

  FAC = 0.3086 × h = 0.3086 × 487.9
  答案： 150.55 mGal

• iii) 布蓋改正 (BC):

  BC = 0.04193 × ρ_rock × h = 0.04193 × 2.67 × 487.9
  答案： 54.61 mGal

• iv) 自由空氣重力異常 (FAA):

  FAA = Go - Gt + FAC = 980,717.39 - 981,165.70 + 150.55
  答案： -297.76 mGal

• v) 布蓋重力異常 (BGA):

  BGA = FAA - BC = -297.76 - 54.61
  答案： -352.37 mGal

b) 海洋測站 (h = 0 m, 水深 d = 487.9 m)

• i) 自由空氣重力異常 (FAA_ocean):

  測站高程 h = 0，所以自由空氣改正 (FAC_ocean) = 0。
  FAA_ocean = Go - Gt + FAC_ocean = 980,717.39 - 981,165.70 + 0
  答案： -448.31 mGal

• ii) 布蓋重力異常 (BGA_ocean):

  海洋的布蓋改正是基於密度差。
  BC_ocean = 0.04193 × (ρ_rock - ρ_water) × d
  BC_ocean = 0.04193 × (2.67 - 1.03) × 487.9 = 33.55 mGal
  海洋的布蓋異常 (BGA) 是加上這個改正項。
  BGA_ocean = FAA_ocean + BC_ocean = -448.31 + 33.55
  答案： -414.76 mGal

📊 答案總結